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Casio-Stiftungsprofessur
Friedrich-Schiller-Universität Jena
Fakultät für Mathematik und Informatik
07743 Jena
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Für das Ausgestalten der Schnittstelle wird ein Beispiel aus dem Chemieunterricht angegeben: Zu erarbeiten ist ein Programm, das Schülerinnen und Schüler beim Erlernen der chemischen Zeichensprache hilft. Der einfache Vergleich zweier Zeichenfolgen - die korrekte, die im Programm gespeichert ist, und die vom Schüler eingegebene - wäre unzureichend (siehe die weitere Darstellung).
Zuerst wird die formale Sprache der Reaktionsgleichungen für Oxidations- und Redoxreaktionen mittels der erweiterten Backus-Naur-Form (EBNF) definiert:
Einige Beispiele für Reaktionen des Programms:
Das Vorgehen lehnt sich an übliche Verfahren zur Syntaxanalyse an. Grundlagen für das Programm waren Erfahrungen des Programmautors und empirische Untersuchungen. Das Programm stellt insofern implementierte Lehr-Erfahrung dar. Der Computer kann zum geduldigen und kompetenten Überprüfer von Antworten der Schülerinnen und Schüler werden (vgl. [8]).
Ein Beispiel für grundlegendes Zahlenverständnis: 24 : 0,4 müssen die Schülerinnen und Schüler im Kopf bewältigen. 23,41 : 0,387 können sie dem Taschenrechner überlassen (vgl. [9]). Sicher nicht aus Versehen gab Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) seiner Rechenmaschine den Wahlspruch SUPRA HOMINEM. Sie ist also dem Menschen überlegen, was Leibniz damit begründete, dass sie den Menschen durch die Schnelligkeit und Zuverlässigkeit größter Berechnungen übertrifft1. |
Aus dem Alltag weiß man, dass es sinnvoll ist, Aufbau und Arbeitsweise von Werkzeugen zumindest im Prinzip zu kennen. Als Beispiel sei das Auto genannt. Folgerichtig sind Motor und Getriebe Gegenstand von Physik- oder Technikunterricht. CAS können symbolisch differenzieren. Die Zeichenfolge 7x2-5x+3 überführen sie in 14x-5. Die Zeichenfolge x4+sin x*x2+2 wird zu 4*x3+sin x*2*x+cos x*x2. Für das Werkzeug CAS soll die These formuliert werden, dass Transparenz z. B. durch Programmieren erreichbar ist. Die Kooperation von Mathematik- und Informatiklehrern einer Schule ist dabei sinnvoll. Im Mathematikunterricht werden die mathematischen Grundlagen erarbeitet (z. B. Ableitungsbegriff, Differenziationsregeln, Ableitung spezieller Funktionen). Ein CAS wird im Unterricht vielfältig genutzt. Im Informatikunterricht wird ein Programm erarbeitet, das das symbolische Differenzieren ausführt. Eine geeignete Programmiersprache dafür ist Prolog. Prolog stellt Mechanismen zum automatischen Zerlegen von Zeichenfolgen in ihre Bestandteile unter Berücksichtigung der Vorrangregeln der Operatoren bereit (vgl. [3]). Wir verwenden das dreistellige Prädikat d(F,X,DF). F ist die gegebene Zeichenfolge. DF liefert das Resultat, also die Zeichenfolge, die die 1. Ableitung darstellt. X ist eine Variable für die Variable, nach der differenziert wird. Für spezielle Funktionen werden die folgenden Fakten und Regeln angegeben:
Summen- und Produktregel lassen sich in Prolog beschreiben:
Die Produktregel lässt sich visualisieren:
Grau sind die Funktionen, schwarz deren 1. Ableitungen dargestellt.
Die Kettenregel wird für jede Grundfunktion einzeln angegeben:
Die Kettenregel wird grafisch dargestellt:
Das vollständige Programm besteht nur aus rund 20 Zeilen. Es ist durchaus leistungsfähig, denn sogar mehrfach verschachtelte Funktionen werden von ihm richtig bearbeitet. Die Korrektheit des Ergebnisses ist z. B. bei fünffacher Verschachtelung kaum noch zu überprüfen, da selbst ein geübter Mensch den Überblick über die äußeren und inneren Ableitungen verlieren dürfte. Aus gutem Grund stellen Lehrerinnen und Lehrer in der Schule meistens Aufgaben, bei denen sie die Antworten der Schülerinnen und Schüler korrigieren können.
Einfluss auf die künftige Entwicklung des Informatikunterrichts dürften die einheitlichen Prüfungsanforderungen der KMK in der Abiturprüfung Informatik (EPA Informatik) gewinnen, schließlich beschreiben sie die Anforderungen und damit die Kompetenzen, über die die Abiturienten am Ende ihrer Schulzeit verfügen sollen (vgl. [5]). Die EPA Informatik wurden auf der Grundlage der derzeit geltenden Informatiklehrpläne der 16 Länder erarbeitet. Themen, die den Lern- und Prüfungsbereichen der EPA Informatik nicht zuzuordnen sind, können bis zu einem Drittel einer Prüfungsaufgabe ausmachen. Durch diese Öffnung war es nicht notwendig, alle Themen, die in den Ländern derzeit unterrichtet werden, in die EPA aufzunehmen. Damit war es bei deren Erarbeitung möglich, inhaltliche Schwerpunkte zu setzen. Die Entwicklung der Schulinformatik wird vermutlich auch weiterhin dynamisch verlaufen. Die EPA wurden daher so formuliert, dass es nicht erforderlich ist, sie alle drei Jahre zu überarbeiten. Andernfalls wäre der Wert des Faches Informatik für die Allgemeinbildung kritisch zu hinterfragen. EPA legen auch fest, welchen Schwierigkeits- und Komplexitätsgrad Abituraufgaben haben sollen. Diese Festlegungen haben sowieso längerfristigen Bestand. Die EPA Informatik betonen, der fachdidaktischen Diskussion der letzten Jahre folgend, das Modellieren im Informatikunterricht. So werden als grundlegende Modellierungstechniken im Sinne von Techniken der geistigen Arbeit objektorientierte Modellierung, Datenmodellierung, zustandsorientierte Modellierung, Modellierung von Abläufen mit Algorithmen, funktionale Modellierung und regelbasierte Modellierung konkret aufgeführt.
Das Verhältnis von Modellieren und Programmieren betrachtet der Autor als noch nicht ausdiskutiert. Nach seiner Auffassung geht es im Informatikunterricht sowohl um das eine als auch um das andere. H. Wedekind forderte im Rahmen seines Lehrauftrags "Informatik als Grundbildung" im Sommersemester 2004 in Jena, Sprache und Logik als Grundlagen des Informatikunterrichts anzusehen2. Dieser Ansatz ist es Wert, auf seine schulische Umsetzbarkeit näher untersucht zu werden (vgl. [19]).
Immer wieder wird nach den für den Einsatz an allgemein bildenden Schulen am besten geeigneten Programmiersprachen gesucht. Ich bezeichne die Suche als das Programmiersprachenproblem und wundere mich - ich gebe gern zu, dass ich hier etwas übertreibe -, dass noch niemand vorgeschlagen hat, die Standards, Systeme und Sprachen HTML, WWW, CSS1, CSS2, DSSSL, XSLT, XSL, CGI, SSI, JSP, ASP, SSJS, PHP, EJB, SSL, DOM Level 1, XML, DTD, XML Schema, XPath, XHTML, XLink, XPointer, Unicode, CORBA, Java, C# und JOSH der Reihe nach im Informatikunterricht abzuhandeln. Kaum ein Lehrer (vermute ich) wäre dazu zwar in der Lage, die Schüler würden daher scharenweise weglaufen, aber modern wäre das Vorgehen allemal. Bei den Diskussionen wird häufig vergessen, dass es nicht Aufgabe von allgemein bildenden Schulen ist, direkt und unmittelbar auf das Berufsleben vorzubereiten. Als Konsequenz sind Kriterien aufzustellen, anhand derer eine Einschätzung von Programmiersprachen erfolgen kann. Dazu soll ein Vorschlag unterbreitet werden:
An der Abbildung lässt sich der Wert der entsprechenden unendlichen geometrischen Reihe ? + (?)2 + (?)3 + (?)4 + (?)5 + … ablesen. (Die Lösung wird hier nicht verraten.)
In dem Zusammenhang kann die Studienarbeit von L. Kohl genannt werden, in der es um visuelle Programmiersprachen für den Einsatz an Schulen geht. In der Arbeit wurden existierende Systeme analysiert, es wurden Informatik-Lehrkräfte zu ihren Erfahrungen und Vorstellungen zu dem Thema interviewt und es wurden Anforderungen an eine visuelle Programmiersprache für den Einsteiger spezifiziert (vgl. [15]). In der darauf aufbauenden Diplomarbeit werden Design und Implementierung des Systems "Puck" vorgestellt und es wird über erste Erfahrungen bei dessen Einsatz an Schulen berichtet. Ein visuelles Programm wird aus Bausteinen zusammengefügt, die formschlüssig ineinander passen. Zahlreiche Fehlermöglichkeiten sind damit ausgeschlossen. Aus dem visuellen Programm wird der Quelltext automatisch generiert (exemplarisch in Oberon-2). Das folgende mit Puck entwickelte Programm löst das bekannte Problem "Türme von Hanoi":
Auf die Frage "Wo ist eigentlich das Problem?" sollen drei Antworten gegeben werden: Komplexität des Denkens, Komplexität des Unterrichts und der populäre Irrtum "Das Lehren-Können kommt schon von allein". Eine Aufgabe der Fachdidaktiken ist das Entwickeln und Erproben von Unterrichtsszenarien. In diesem Abschnitt wird das Thema "Zeit- und Speicherverhalten von Quicksort" näher dargestellt. Dabei erfolgt eine Bezugnahme auf eine Veröffentlichung des Autors, in der das Thema aus der Perspektive des entdeckenden Lernens aufbereitet wurde, wobei Phänomene beobachtet und dann erklärt werden (vgl. [10]). Nachfolgend wird eine Anregung von R. Baumann aufgegriffen und die experimentelle Methode angewandt (vgl. [1]). Aus Gründen der Konzentration auf das Wesentliche werden stets nur Zahlen sortiert (Datentyp REAL). Die Problemgröße ist die Anzahl n an Zahlen. Nachfolgend wird vorausgesetzt, dass die Leserin oder der Leser wissen, wie Quicksort funktioniert.
Zu Beginn werden Hypothesen für das Zeitverhalten von Quicksort
im besten und schlechtesten Fall erarbeitet. Dafür wird ein einfaches
Modell verwendet. Zuerst wird der beste Fall bearbeitet. Zu sortieren ist
eine Teilfolge von k Zahlen. Dafür werden erst einmal näherungsweise
k Zeiteinheiten benötigt. (Jede Zahl wird mit dem Trennelement verglichen.
Manchmal werden zusätzlich zwei Zahlen getauscht.) Dann werden die
linke und die rechte Teilfolge in gleicher Weise bearbeitet. Im besten
Fall wird eine Teilfolge stets in zwei gleich große Teilfolgen zerlegt.
In der Abbildung wird die Situation für 16 Zahlen, die zu sortieren
sind, dargestellt. Das Zeichen steht für
eine Zahl und damit nach den Erläuterungen für eine Zeiteinheit.
Die Zeichen lassen sich zu einem Rechteck zusammenschieben. Die Fläche
als Maß für die benötigte Zeit zum Sortieren von 16 Zahlen
hat den Inhalt 16*4. Durch weitere Beispiele lässt sich die Hypothese
finden, dass die benötigte Zeit im besten Fall proportional zu n*ld
n ist.
Nun wird der schlechteste Fall untersucht. Dieser liegt zum Beispiel
dann vor, wenn als Trennelement stets die größte Zahl einer
Teilfolge genommen wird. Es entsteht ein Dreieck, das den Flächeninhalt
135 besitzt (vgl. nachfolgende Abbildung). Allgemein beträgt der Flächeninhalt
(n2+n-2)/2. Die Hypothese lautet: Im schlechtesten
Fall ist die benötigte Zeit proportional zu n2.
Im Modell werden die Vergleiche präzise berücksichtigt. Die Bewegungen werden dagegen sehr großzügig betrachtet. Diese Vereinfachung ist im Sinne einer Plausibilitätsbetrachtung akzeptabel.
Die Funktionen f und g mit f(x)=x2 und g(x)=x*ld x werden jetzt näher analysiert. Was passiert, wenn sich der x-Wert verdoppelt? Bei der Funktion f ergibt sich die Vervierfachung des y-Wertes. Für die Funktion g gilt, dass sich der y-Wert nur auf das (2*(1+1/ld x))-fache vergrößert. Diese Funktion wollen wir daher als "fast linear" bezeichnen. Die beiden Hypothesen für das Zeitverhalten im besten und schlechtesten Fall werden nun experimentell mithilfe von Zeitmessungen überprüft, was auch gelingt.
Die nächste Abbildung stellt Messergebnisse für bis zu 200.000 Zufallszahlen dar. Als Trennelement wird jeweils das mittlere Element einer Teilfolge genommen (Abszissenachse: Anzahl an Zahlen, Ordinatenachse: benötigte Zeit).
Abschließend werden zwölf Fälle systematisch untersucht, die sich ergeben aus:
vier Möglichkeiten für die Wahl des Trennelementes: es wird stets das erste, das mittlere, das letzte bzw. ein zufälliges Element einer jeden Teilfolge genommen.
Das oben angegebene Modell eignet sich auch für das Ermitteln des Speicherverhaltens, denn jede Folge von Zeichen entspricht einem Prozeduraufruf. Im besten Fall liegen gleichzeitig bis zu ld n Einträge im Stapelspeicher vor. Im schlechtesten Fall sind es n-1 Einträge.
Ein Mathematiklehrer untersucht derzeit die Planungsphase eines Mathematikunterrichts mit CAS genauer. Er ist jeweils zur Hälfte an der Universität und an einem Gymnasium tätig. Dies ist eine Möglichkeit, Schulbezogenheit in der fachdidaktischen Forschung zu gewährleisten. In den Untersuchungen wird von der These ausgegangen, dass der Prozess der Entwicklung der Professionalität der Lehrenden unterstützt werden kann, indem man die Bereitschaft und die Kompetenz zu selbstkritischer Arbeit und zu kommunikativer, kooperativer und öffentlich wirksamer Arbeit befördert (vgl. [11]). Wesentliche Grundlage für die wissenschaftliche Arbeit sind vielfältige eigene Unterrichtserfahrungen.
Und zum Abschluss die schlichte Antwort auf die Frage "Unterricht -
bald nur noch mit Computer?": Ja.
Vielen Dank an Christiane Topp; sie erstellte diese Online-Version des
Artikels.
1. | Baumann, R.: Zeitaufwand von Sortierverfahren. In: LOG IN Heft Nr. 130 (2004), S. 51-55 |
2. | Berndt, E.-B.: Interaktion mit digitalen Rechtschreibhilfen: ein Vergleich von Schülertexten; neue Wege zur Förderung der Rechtschreibkompetenz in der Sekundarstufe I. Bremen, Univ., Diss. 2002 |
3. | Clocksin, W. F.; Mellish, C. S.: Programmieren in Prolog. Springer Berlin, Heidelberg, New York 1990 |
4. | Dietz, P.: Menschengleiche Maschinen. Wahn und Wirklichkeit der künstlichen Intelligenz. Bühler und Heckel Berlin 2003 |
5. | Einheitliche Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung Informatik. Beschluss vom 1.12.1989 i. d. F. vom 5.2.2004. Luchterhand München, Neuwied 2004 |
6. | Einheitliche Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung Mathematik. Beschluss vom 1.12.1989 i. d. F. vom 24.5.2002. Luchterhand München, Neuwied 2003 |
7. | Empfehlungen für ein Gesamtkonzept zur informatischen Bildung an allgemein bildenden Schulen. GI-Fachausschuss "Informatische Bildung in Schulen". Beilage von: LOG IN 20 (2000) Heft 2 |
8. | Fothe, M.: Antwortkontrollalgorithmen für Reaktionsgleichungen der anorganischen Chemie. In: Dresdner Reihe zur Forschung 15/1986, S. 132-137 |
9. | Fothe, M.: Rettet, was zu retten ist! In: LOG IN 20 (2000), Heft 6, S. 72 |
10. | Fothe, M.: Zeitverhalten von Sortierverfahren - Beispiele für experimentelles Arbeiten im Informatikunterricht. In: Hubwieser, P. (Hrsg.): Informatische Fachkonzepte im Unterricht. 10. GI-Fachtagung Informatik und Schule INFOS 2003. Lecture Notes in Informatics, Bonn 2003, S. 111-120 |
11. | Fothe, M. (Hrsg.): Mathematikunterricht und Computer - Bestandsaufnahme und Ausblick. Bericht von der Tagung am 24./25. September 2004. In: Jenaer Schriften zur Mathematik und Informatik 11/04 |
12. | Frindte, W.; Stauche, H.: Abschlussbericht zur wissenschaftlichen Begleitung der TSCN-Medienzentren (Kurzfassung). FSU Jena 2004 (Institut für Psychologie, Institut für Erziehungswissenschaften) |
13. | Heugl, H.; Klinger, W.; Lechner, J.: Mathematikunterricht mit Computeralgebra-Systemen. Addison-Wesley Bonn, Reading 1996 |
14. | Klieme, E. u. a.: Zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards. Eine Expertise. BMBF 2003 |
15. | Kohl, L.: Konzepte der visuellen Programmierung und ihrer Einsatzmöglichkeiten an Schulen. Studienarbeit an der FSU Jena 2004 (Fakultät für Mathematik und Informatik) |
16. | Lütgert, W.; Hallpap, P. (Hrsg): Didaktik in Jena. Aufgaben zu Beginn des 21. Jahrhunderts. Zentrum für Didaktik Jena 2002 |
17. | PISA-Konsortium Deutschland (Hrsg.): PISA 2003. Der Bildungsstand der Jugendlichen in Deutschland - Ergebnisse des zweiten internationalen Vergleichs. Waxmann Münster, New York, München, Berlin 2004 |
18. | Strittmatter, P.; Niegemann, H.: Lehren und Lernen mit Medien. Eine Einführung. Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 2000 |
19. | Wedekind, H.; Ortner, E.; Inhetveen, R.: Informatik als Grundbildung, Teil III: Gleichheit und Abstraktion. Informatik Spektrum 4/2004, S. 337-342 |
20. | Weigand, H.-G.; Weth, T.: Computer im Mathematikunterricht. Neue Wege zu alten Zielen. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, Berlin 2002 |
21. | Zemanek, H.: Der Geist in der Flasche: Warum der Computer nicht ausschaut. In: Informationstechnik - it Heft 1/1988, S. 3-10 |
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