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2.1.2 Die Umsetzung als Rekursionsalgorithmus und seine Programmierung in Turbo Pascal 2.1.3 Fächer übergreifende Aspekte (Verbindung zum Mathematikunterricht) 2.1.4 Das HERON-Verfahren - geeignet zur ERARBEITUNG der Rekursion im Unterricht der Sekundarstufe I/II? 2.1.5 Quellen
3.2 Das Königsberger Brückenproblem 3.3 Das Labyrinth |
2. Das Divide-and-Conquer-PrinzipDas Divide-and-Conquer-Prinzip geht davon aus, dass große Probleme gelöst werden können, indem sie in mehrere kleinere (möglichst disjunkte) Teilprobleme aufgeteilt werden. Aus den Lösungen der Teilprobleme kann dann die Lösung des großen Problems zusammengefügt werden. Es sind also drei Schritte auszuführen:
Für die Programmierung bedeutet das, Prozeduren bzw. Funktionen in sich selbst auszuführen. Voraussetzungen zur Erarbeitung der Rekursion im Informatikunterricht der Sekundarstufe II sind Kenntnisse und Fähigkeiten, die im Berreich Algorithmisches Problemlösen des Rahmenplanes aufgeführt sind. Insbesondere sollten die Schüler sicher mit Prozeduren und Funktionen und der Übergabe von Parametern umgehen können. Zu erwähnen ist an dieser Stelle noch, dass den Schülern in der Abiturstufe das Rekursionsprinzip auch aus dem Mathematikunterricht bekannt ist, da hier in der Klassenstufe 11 im Stoffgebiet Folgen und Reihen mit rekursiven Bildungsvorschriften für Folgen gearbeitet wird. |
2.1 Das HERON-Verfahren und seine Umsetzung als Rekursionsalgorithmus2.1.1 Heron von Alexandria und das Verfahren zum Berechnen von QuadratwurzelnHeron lebte um 100 n.Chr. wahrscheinlich in Alexandria, da er sich in seinem Werk "Dioptria" auf Beobachtungen der Sonnenfinsternis von 62 n.Chr. in Alexandria beruft. Er arbeitete vor allem auf den Gebieten der angewandten Geometrie und der Mechanik, beschäftigte sich ausführlich mit Flächeninhaltsberechnungen und schrieb über die Anfertigung und Benutzung von Messinstrumenten und Maschinen. In seinem Werk "Metrika" (Vermessungslehre in drei Bänden, fast unverändert erhalten) gibt er das nach ihm benannte Näherungsverfahren zur Berechnung von Quadratwurzeln an, welches Gegenstand des von uns ausgewählten Rekursionsbeispiels sein soll. Man weiß heute, dass dieses Verfahren auch schon den babylonischen Mathematikern um 2000 v.Chr. bekannt war. Es gibt in der Geschichte der Mathematik übrigens viele Anhaltspunkte dafür, daß griechische und hellenistische Mathematiker sehr stark auf babylonische Traditionen zurückgegriffen haben. In Erstaunen sollte uns und unsere Schüler versetzen, daß dieses Verfahren "nichts weiter" ist als das NEWTON-Verfahren (zur näherungsweise Bestimmung von Nullstellen) angewandt auf die Funktion f(x) = x² - a ,wir werden unter 2.1.3 näher darauf eingehen. Nun wurde aber bekanntlich die Differentialrechnung, auf der das NEWTON-Verfahren basiert, erst gegen Ende des 17.Jahrhunderts entwickelt. Heron hat die Zulässigkeit seines Näherungsverfahrens mit geometrischen Methoden nachgewiesen. Er gab an, dass die (nichtrationale) Wurzel einer Zahl a durch wiederholtes Anwenden der Formel |
2.1.2 Die Umsetzung als Rekursionsalgorithmus und seine Programmierung in Turbo PascalFür die Umsetzung des HERON-Verfahrens in einem Rekursionsalgorithmus sind folgende Gedanken wichtig:
Var w:extended; Begin
Else w := (Wurzel(i-1) + a / Wurzel(i-1)) / 2; Wurzel := w (TurboPascal 7.0 für DOS) |
2.1.3 Fächer übergreifende Aspekte (Verbindung zum Mathematikunterricht)Wenn man das HERON-Verfahren als Beispiel für den Rekursionsalgorithmus im Informatikunterricht wählt, kann man sowohl in der Sekundarstufe I als auch in der Sekundarstufe II auf Gegenstände des Mathematikunterrichts zurückgreifen.Zur Sekundarstufe I:
Zur Sekundarstufe II:
= (2an²-an²+a)/2an = (an+a/an)/2 :HERON |
2.1.4 Das HERON-Verfahren - geeignet zur ERARBEITUNG der Rekursion im Unterricht der Sekundarstufe I/II?Sicherlich wird man die Behandlung der Rekursion stets mit Beispielen aus dem Alltag beginnen:
KONTRA
!!! Wir sind offen für weitere PRO UND KONTRA, gefragt ist Euere Meinung !!! |
2.1.5 QuellenOttmann, "Prinzipien des Algorithmenentwurfs" Freiburg 1997Wussing, "Mathematik in der Antike" B.G.Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig Baumann, "Informatik für die Sekundarstufe II", Band 2, Ernst Klett Schulbuchverlag |
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